已知y(x)=x+a/x²+bx+1是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论

首页/题库/451℃/2024-05-18 18:15:53

优质解答：

先根据函数的奇偶性求出a,b,得到解析式,再利用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性．

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因为函数f(x)=(x+a)/(x²+bx+1)

是奇函数,且定义域为[-1,1],

所以

f(0)=a=0

f(−1)=−1/(2−b)=−f(1)=−1/(2+b)

解得

a=0

b=0

所以f(x)=x/(x²+1),

f(x)在x∈[-1,1]上是增函数,下面证明：

设x1,x2是定义域内的任意两实数,且x1＜x2,

所以f(x1)−f(x2)=x1/(x1²+1)−x2/(x2²+1)=【(x1−x2)(1−x1x2)】/【(x1²+1)(x2²+1)】,

因为-1≤x1＜x2≤1,所以x1-x2＜0,1-x1•x2＞0,x1²+1＞0,x2²+1＞0,

所以f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),

所以函数f(x)在[-1,1]上是增函数．

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再问： 1−x1 x1²这两个是什么？

再答： ？什么意思

再问： 问题帮忙解决一下=_=……

再答： ‘什么问题啊？？？

再问： 你发的答案……有很多我看不懂的符号…………

再答： 可能是平方乱码吧，我改下。。。 因为函数f(x)=(x+a)/(x2+bx+1) 是奇函数，且定义域为[-1，1]， 所以 f(0)=a=0 f(−1)=−1/(2−b)=−f(1)=−1/(2+b) 解得 a=0 b=0 所以f(x)=x/(x2+1)， f(x)在x∈[-1，1]上是增函数，下面证明： 设x1，x2是定义域内的任意两实数，且x1＜x2， 所以f(x1)−f(x2)=x1/(x12+1)−x2/(x22+1)=【(x1−x2)(1−x1x2)】/【(x12+1)(x22+1)】， 因为-1≤x1＜x2≤1，所以x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，x12+1＞0，x22+1＞0， 所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在[-1，1]上是增函数． （x12是x1的平方，x22是x2的平方）

再问： 问下，为什么f(0)=a=0?

再问： 虽然还是没懂……不过还是谢谢你了

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