空间向量与立体几何5.正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为a①求A'B和B'C的夹角,②求证：A'B⊥AC'

首页/题库/441℃/2024-05-19 17:43:00

优质解答：

（1）连接A'D

在正方体ABCD－A'B'C'D'中

所以A'B'∥＝DC,∠A'AB=90°

即四边形A'B'CD为平行四边形

所以A'D平行等于B'C

所以A'B和B'C的夹角为A'B和A'D的夹角

即∠BA'D为A'B和B'C的夹角

在正方体ABCD－A'B'C'D'中

所以AB=A'B=a

应为∠A'AB=90°

所以三角形BAA'为直角三角形

所以A'B=√2 a

同理A'D=DB=√2 a

所以三角形A'AB为等边三角形

所以∠BA'D=60°

即A'B和B'C的夹角为60°

（2）连接AB'

在正方体ABCD－A'B'C'D'中

所以C'C⊥面ABCD

所以AB'为AC'在面ABCD的射影

在正方形ABB'A'中

AB'⊥A'B

所以A'B⊥AC'

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