(2012•密云县二模)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E.设CD=CB=34,AD=9,AB=
首页/题库/369℃/2024-05-10 05:30:37
(2012•密云县二模)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E.设CD=CB=34
优质解答:
如图,在AB上截取AF=AD,连接CF,
∵AC平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
在△ADC和△AFC中,
∵
AD=AF
∠1=∠2
AC=AC,
∴△ADC≌△AFC(SAS),
又∵AD=9,CD=CB=
34,
∴AF=AD=9,CF=CD=CB=
34,
∴△CBF是等腰三角形,
又∵CE⊥AB于E,AB=15,
∴EF=EB=
1
2BF=
1
2(AB-AF)=3,
在Rt△BEC中,cosB=
BE
BC=
3
34=
3
34
34,
在Rt△BEC中,CB=
34,BE=3,
由勾股定理得:CE=
CB2−BE2=5,
在Rt△AEC中,CE=5,AE=AF+EF=9+3=12,
由勾股定理得:AC=
AE2+EC2=13,
∴∠B的余弦值为
3
34
34,AC的长为13.
试题解析:
在AB上截取AF=AD,由AC为角平分线得到一对角相等,再由公共边AC,利用SAS可得出三角形ADC与三角形AFC全等,利用全等三角形的对应边相等得到CD=CF,由CD=CB,得到CF=CB,即三角形BCF为等腰三角形,再由CE垂直于BF,利用三线合一得到E为BF的中点,进而由AE-AF求出EF的长,即为EB的长,在三角形CEB中,利用锐角三角形函数定义及BC与EB的长,求出∠B的余弦值,再利用勾股定理求出CE的长,在直角三角形ACE中,由AE与CE的长,利用勾股定理即可求出AC的长.
名师点评:
本题考点: 解直角三角形;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
考点点评: 此题属于解直角三角形的题型,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,等腰三角形的三线合一性质,勾股定理,以及锐角三角函数定义,利用了转化及数形结合的思想,其中作出相应的辅助线是本题的突破点.
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