已知集合A={x|ax2+2x+1=0}．

首页/题库/339℃/2024-05-18 20:36:18

已知集合A={x|ax2+2x+1=0}．

（1）若A中只有一个元素，求a的值；

（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

优质解答：

（1）当a=0时，A={x|2x+1=0}={−

1

2}，符合条件；

当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，

则方程ax2+2x+1=0只有一个实数解，所以△=4-4a=0⇒a=1．

所以，a的值为0或1．

（2）若A中至多只有一个元素，则A中只有一个元素，或A=∅．

由（1）知：若A中只有一个元素，a的值为0或1；

若A=∅，则方程ax2+2x+1=0无实数解，所以△=4-4a＜0⇒a＞1．

所以，a≥1或a=0．

试题解析：

（1）A中只有一个元素包含两种情况：一次方程或二次方程只有一个根，二次方程根的个数通过判别式为0．

（2）A中至多只有一个元素包含只有一个根或无根，只有一个根的情况在（1）已解决；无根时，判别式小于0，解得．

名师点评：

本题考点： 元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题考查分类讨论的数学方法、考查通过判别式解决二次方程根的个数问题．

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